@Tingle35 讲的有一定道理：有些词组就是固定搭配，介词的选择没有道理可讲。对于 obsessed 这个词来说，为什么可以用 with 和 by 而不能用 about 等其它介词，确实可以用「固定搭配」来回答。
不过，在 with 和 by 这两个介词之间，我觉得还是有一些微妙的语感差异。这种差异可以通过类比一些其它词组来解释，这样的类比也可以指导我们什么时候选用 with 更好，什么时候选用 by 更好。
我们来看一些其它带 with 的词组：
当然，这些词组中常常也可以用别的介词，比如 be strict about, be angry at, be upset over, be overwhelmed by。这些介词也会传达一些微妙的语感：
现在来看 obsessed 这个词。它常用来描述一个人的性格，表示他像强迫症一样，对某件事情特别挑剔、在意或者纠结：
根据语境，主语对宾语的执念，有可能是主动的选择，比如在第二句中，「他」可能是好胜心特别强，一定要用升职来证明自己。也有可能主语并不想有这种执念，但是身不由己，比如「他」可能处在一个「非升即走」的环境中，不得不被升职之事所困扰。with 这个介词，可以表达出从主动到被动的一个很宽的范围内的语感。
而如果用 be obsessed by 呢？那么语感就会像 be overwhelmed by 一样，主语执着于的那些事情仿佛梦魇一般纠缠着、困扰着主语，主语处于一种非常被动的地位。 @Tingle35 引用的一些例句，恰恰能体现出这种语感：
这两句里的 by，都能够体现出主语其实不想被体重或健康问题所困，但无法逃脱。
如果换成 with，比如：
则就能传达一种「她们主动在意体重」的语感了。
