先说结论：开普勒第二定律就是最基础的角动量守恒，开普勒第一定律可以通过解微分方程得到，而开普勒第三定律利用了周期性运动的性质。
我们先看下开普勒第二定律：行星与太阳连线扫过的面积 是以 为自变量的线性函数（也就是单位时间扫过的面积相等）。由于它的导数是 ，正好等于 ，而行星的质量是守恒的，因此它和角动量守恒等价。
再看下开普勒第一定律：行星的轨道是以太阳为焦点的圆锥曲线。
那么，这一的推导是如何进行的呢？
在极坐标系下（以太阳系为例），一方面来自太阳的万有引力不产生对太阳的力矩，因此角动量守恒 ；另一方面，万有引力产生的加速度，可以分解为极径的二阶导与向心加速度两项，也就是 。
假设 ，那么我们有 ，这个方程还是很难求解，看来得把 消掉。
由于 ，因此 。这里 还是没消掉，看来得再求导一次。
由于 ，因此我们就得到了 。对比圆锥曲线的统一方程 化简得到的 ，二者具有相同的形式，因此天体的运行轨道，一定是圆锥曲线。
（这个东西来自于，圆锥曲线的统一定义是“到一个定点与一条直线的距离之比为定值的点的集合，这个比就是离心率”，我的其他回答讲过这个东西，这里就不讲了）
具体来说， 的情况是双曲线（的一支）， 的情况是抛物线， 的情况是椭圆，这也是三类圆锥曲线的递进关系。后面我们会提到，这也体现了天体机械能的递进关系。
那么，椭圆轨道的周期如何求得呢？
由于椭圆极径的最大值是 ，最小值是 ，得到半长轴 。因此，半长轴 ，半焦距 的椭圆可以写成 ，或者 。
假设行星近日点的速度是 ，那么单位时间扫过的面积就是 ，周期是 （当然，周期也可以用 来计算，而这里的角速度可以用角动量守恒消去）。
另一方面，系统的机械能是 。假设 （ 就对应于正圆轨道），那么系统的机械能就是 。
由于远日点处物体的速度是 （角动量守恒），此时机械能等于 ，化简即可得到 。
这样，我们就得到了机械能 ，速率 ，周期 ，角动量 ，也能得到 ，这就得到了开普勒第三定律，它们的形式和圆轨道完全一致。
与此同时，我们还得到了预测一个天体轨道的方法：半长轴由机械能决定，而离心率可以通过角动量得到。（这里我们认为双曲线具有负的半长轴和焦距，也就是 仍然成立，并且定义双曲线的半短轴 是半虚轴的 倍，这样 也保持成立）
最后，这里我提一件非常有意思的事情：
对于一颗双曲线轨道的非周期彗星而言，根据开普勒第三定律，它的周期是虚数。虽然这一虚周期无法在实际运动中体现，但是它在代数意义上是成立的。
