我刚学习的时候也被拓扑空间的定义吓到，不过理解过就会感觉非常自然。希望给后来学习的人一点时间的节省（如有错误，多多指教，欢迎批评）
首先的问题：什么是空间？粗略的看，空间是一堆点的集合，每个点有 个坐标当 就是我们日常感知的世界
但这里有一个疑问：为什么空间坐标一定是实数？甚至为什么一定是数？我们 没有理由相信：上帝偏爱实数、实数作为空间基础是合理的、客观的实数作为空间基础，更像是人类的钦点、人类的偏好……你怎么保证：不同宇宙的空间一定用同一套数系呢？
这要求对空间的概念，进行一般化的抽象，舍弃 一些过强的假设，但又保证可以承载一些重要性质，不至于过于空泛
首先引入一个重要的概念：开集，我们最熟悉的开集是数轴上的开区间 它的一个特点是：无论距离边界多近，都可以往外跨一小步，但仍在开集中换句话说 —— 开区间没有最大最小值
也可以把开集理解成，点光源漫反射的光斑，它同样没有内边界
考察连续函数 ，取值域的一个开集 ，它的逆映像 也是开集
函数连续性依赖于开集，于是我们试想：不直接定义空间，而以开集作为基础在“开集”这一个结构上，建立空间的一般性质
现在的问题是：什么是开集？回想自然数的历史是好主意由日常数的直观，人们发现了“自然数公理”不管是汉字、阿拉伯数、罗马数、玛雅数……只要元素之间的关系满足公理，就可以一视同仁[1]，叫它们“自然数”
先看看 实数轴上开集的重要性质[2]：
“丢掉一些东西”是抽象的开始：现在丢弃全集为 的假设就得到了 拓扑空间，它指定了开集应该具有的性质
可以看到，拓扑空间与实数开区间性质，是互相对应的最后一个问题：怎么指定哪些子集是开集？答案是：满足公理就行，指定方式不唯一……
回顾一下旅程，现在你应该了解了拓扑空间定义的本质
