首先厘清一下术语：“内涵”和“外延”这个对子在英语文献中有很多等价的表达方式，如sense/reference（弗雷格）、intension/extension（卡尔纳普）、connotation/denotation（穆勒）等。目前更通用的说法是means/denotes. 本文仅使用“内涵”和“外延”来作为上述这些英文术语的中文对应物。
先说外延，外延在一阶逻辑中是一个非常清晰且基本无争议的东西。根据语言表达式的种类进行划分，我们大致可以定义以下三类外延：名称（names）的外延是该名称所指称的个体，谓词（predicates）的外延是集合或关系，句子（sentences）的外延是真值。
再说内涵，内涵在逻辑学领域的争议非常之大，目前没有绝对统一的标准。历史上，弗雷格、邱奇、卡尔纳普、马库斯、蒙太古等知名人物都提出过各不相同的内涵理论，如今的逻辑学界有一个专门的分支intensional logic来讨论内涵问题（参考SEP词条https://plato.stanford.edu/entries/logic-intensional/）。
即便如此，关于内涵的解释仍有一个相对主流的版本，即可能世界语义学的版本：一个表达式（不论是名称、谓词还是句子）的内涵是一个从可能世界映射到外延的函数。其背后的直观是：同一个表达式在不同可能世界中有不同的外延（比如“2008年北京奥运会100米短跑冠军”在现实世界中的外延是博尔特，但在另外一个可能世界中是加特林），那么这同一个表达式在不同可能世界中保持不变的是什么？——是它的内涵！我们正是根据表达式的内涵来分配它在不同可能世界中的外延。因此这个外延分配函数就是该表达式的内涵。
延此思路，模态逻辑甚至发展出了“二维语义学”，去定义一个表达式在两个维度上的内涵。在经典的可能世界语义学中，我们指定某唯一世界作为现实世界，并在此基础上考虑不同的反事实世界，这构成了可能世界的第一个维度。但另一方面，我们可以考虑不同的可能世界作为现实世界，这些不同的现实世界本身构成了可能世界的第二个维度（更直观地说，第一个维度是在某个视角下对不同可能世界的观察，第二个维度是对视角本身的选择）。以这两个维度构造平面直角坐标系（用斯塔内克的说法即二维矩阵），我们可以评估一个表达式在该坐标系的每个坐标点上的外延。二维矩阵上的每个横行展示了表达式的“反事实内涵”（注意函数其实就是有序n元组的集合），从原点射出的对角线展示了表达式的“事实内涵”（关于具体的技术性细节，还请参考SEP词条：https://plato.stanford.edu/entries/two-dimensional-semantics/）。
我个人的看法是，随着可能世界维度的增加，我们可以捕捉到语言表达式的更加精细的“意义”（meaning）。经典一阶逻辑可视作零维语义学，它只能捕捉到表达式的外延；标准模态逻辑是一维语义学，它能捕捉到表达式的内涵；二维语义学则捕捉到了表达式的更多层次的内涵。我们可以顺势构造更高维度的语义学（新增的维度可以是时间轴、文化习俗、权力话语等等），并把表达式的外延嵌入在这些高维坐标空间中，以此来把握表达式的更加丰富的意义。更有意思的是，我发现这和LLMs把token当作高维向量来处理非常相似，但这扯的确实有点远了……
最后，推荐一篇经典而不失前沿的文献：查尔莫斯2002年的“On Sense and Intension”. 这篇文章用纯自然语言的方式清晰地梳理了模态逻辑中对内涵的理解。如果追求技术性更强的解释，可参考查尔莫斯2004年的“Epistemic Two-Dimensional Semantics”.
