虽然不知道为什么我被邀请过来。。。那我就答了吧，纯属个人见解，而且很多年过去不见得记得清了。。。
EVA的动画剧情起源于希伯来圣经。这个世界上呢有十八名使徒，第一名为亚当，第二名为莉莉丝，然后三至十七就是动画中出现过的BOSS，然后第十八是人类（Lilin）。
其中，亚当被看作为使徒的始祖，隐藏在白之月中，莉莉丝是人类的始祖，隐藏在黑之月中。
按照时间顺序这个剧情应该是这样的。
不知道什么时候，第一始祖民族出现，他们在名为“月”的载体中放入了生命的种子。
6500万年前，黑之月从月到达地球时引发了第一次冲击，白之月到达地球并没有引发冲击而是隐藏在了南极中。
中世纪，宗教团体Seele（德语，灵魂）成立，并逐步扩张势力，在20世纪触手到达全世界，成为控制人力的背后势力。
2000年，人类发现了南极中的白之月，研究亚当的时候唤醒了亚当，亚当释放其力量造成第二次冲击，南极大爆炸，海平面上升，地轴偏转，四季变化，人类半数死亡，地面适合人类生存的地方急剧缩小，人类转移到地下。
2001年，碇真嗣、明日香出生。
2003年，人工进化研究所成立，开始对南极事故（亚当）的研究。实际上则是Seele开始三大计划，即人类补完计划、E计划和adam计划。
2004年，碇唯和明日香的母亲在EVA试验中严重受创，碇唯死亡，明日香母亲神经错乱。实际上是，碇唯的灵魂融于一号机，明日香母亲的部分灵魂融入二号机。
2008年，赤木律子跟随母亲赤木尚子进入E计划，开始开发电脑MAGI。
2010年，智能电脑MAGI开发完成，赤木尚子死亡，实际上灵魂融入MAGI。人工进化研究所改编成为NERV（神经）。
2015年，使徒出现，马尔杜克机关成立，开始选拔EVA的驾驶员。实际上是真嗣所在那个班。
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大概的背景就是这些，开始介绍一下，呃，剧情。
首先来讲，亚当是生命的始祖，而莉莉丝是人类的始祖，三至十六使徒都是亚当的孩子，长期沉睡在地球中。使徒中，人类继承了智慧果实而使徒继承了生命果实，生命果实让使徒的A.T力场比较强大，达到了能影响物理现实的地步，同时保持使徒形态，人类的智慧果实获得了异常发达的智慧，但A.T力场只能影响思想交流，人类无法保持初始的使徒形态，被分为了现在这个样子，而A.T力场形成了心之壁是原本使一体的思想变成了无数独立思想。
人类补完计划是整个动画的核心，源于Seele。Seele想获得人类不灭，想让人类归于统一的思想，那么诱发的条件是触发第三次冲击，毁灭全人类的肉体归于LCL溶液中，然后自己成为第三次冲击的引导者。
第三次冲击，触发条件是使徒的灵魂和亚当的肉体的结合，这里有三种不同的使徒灵魂：绫波丽（受控制的莉莉丝灵魂）、使徒和渚薰（受控制的亚当灵魂）
（后注： 贴吧“漂流的瓶子”所列条件如下：“1.使徒接触完整ADAM；2.量产机型与初号机举行处死仪式；3.完整的ADAM与完整的LILITH禁忌融合；4.完整的LILITH与量产系 列利用朗枪举行的仪式；5.人造使徒接触完整ADAM，其实这个也可以归类在1里面，不过就特殊性而言，将其分了出来。”我认为处死仪式是必须的，但他不是触发第三次冲击的关键）
因此他们制定了三大计划，E计划创造了MAGI和EVA，Adam计划创造了渚薰。渚薰的灵魂是adam的灵魂，肉体是个人类的肉体，因此他是个人造使徒。并且，他受到了Seele的控制，无法违背Seele的命令。
Seele成立NERV的目的是完成人类补完计划，但是，NERV的司令碇源堂拥有他自己的计划，并且有两件事一直瞒着Seele，一是，他偷换了亚当的肉体，囚禁在最终教条区的莉莉丝肉体被误认为亚当的肉体；二是，他偷偷复制了Adam计划，创造了绫波丽，人类的肉体（碇唯）+莉莉丝的灵魂。但绫波丽不是使徒，因为使徒是亚当的后代，拥有亚当的灵魂。
Seele的人类补完计划是，用渚薰碰触亚当的肉体，引发第三次冲击；使徒的计划是，自己去碰触亚当引发第三次冲击毁灭罪恶的人类，因为他们是亚当的后代，可以看作拥有亚当的灵魂；碇源堂的计划是，让绫波丽触碰亚当的肉体自己成为神见到碇唯；最后是碇唯的计划，让自己的儿子碇真嗣成为神“活下来”。
然后就是这四个计划的博弈，在第十七使徒渚薰“自由”出现前，Seele和NERV是表面上下级实际为合作的关系，因为他们都要阻止使徒的计划，不能让使徒的灵魂碰到亚当的肉体。但是，碇源堂让使徒和Seele都误会了一件事：NERV里面不是亚当的肉体，而是莉莉丝的。真正的亚当肉体应该已经被微缩成胚胎被碇源堂吞下（某集加持良治交给他的东西）（加持良治是Nerv派到Seele的间谍，又被Seele信任派到NERV当间谍。。。也是碇源堂能瞒天过海的关键）
但是这里面有个关键，那就是EVA。EVA名义上被叫做兵器，实际上是人类补完计划的一部分、亚当肉体的复制，但不完整，没有使徒的关键S2机关，无法自己产生能量。而且，要防止使徒碰触到亚当的肉体，因此用装甲把他们包了起来。EVA的装甲不是来保护他们的，而是要防止肉体的暴露阻止使徒的直接接触，并且限制EVA肉体的力量，这一点光从装甲的名字就可以看出来：拘束器。（以下为@林苍剑 补充后答案）初号机是莉莉丝的复制，有别于其他机体。
在初号机暴走的时刻，初号机吞噬了十三使徒小力的S2机关，成为了完整的使徒肉体，所以他才是唯一能触发第三次冲击的关键，但当时只有碇源堂知道。Seele怕出事不敢用初号机试验，所以第一选择仍然是他们想象中被囚禁在最终教条区的亚当肉体。
当十七使徒渚薰到达最终教条区时，发现亚当的肉体被替换成了莉莉丝的肉体，而亚当的肉体不知所踪。这时候Seele才真正意识到碇源堂背叛了他们（之前只是防备），因此在air真心为你这部剧场版，才看到了Seele活捉初号机、抓捕碇源堂的行为，因为他们不知道亚当的肉体哪儿去了，要问碇源堂；既然找不到亚当的肉体就要把控初号机。
这时候碇源堂选择了把亚当的肉体交给绫波丽，莉莉丝的灵魂和亚当的肉体结合，但可惜的是，绫波丽选择了碇真嗣，于是接着绫波丽回归莉莉丝肉体并且和初号机结合，触发第三次冲击，而碇真嗣成为神。
还有哪儿不明白就在评论里说好了。。。我也不保证自己能解释清楚。。。
最后的最后，推荐EVA－FANS的注释，他们是中国最了解eva的人，字幕工作也令人钦佩。
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感谢@林苍剑的补充，确实有些细节是我记不清了，也有些是我没说明白。请大家一并移步赞同林苍剑的答案：
1. 亚当不但是使徒始祖，也是所有生命的始祖；
2. 发生第二次冲击的原因是人类和亚当的不当接触；
3. EVA驾驶员“实际上就那俩人”明显有误，真嗣和明日香只是顺序非常靠前的适格者，实际上真嗣整个班的同学都是候选的驾驶员，例如EVA三号机就由铃原东治驾驶；
4. Seele的目的并不是成为神，这是他们与源渡最大也是最根本的区别。根据圣经记载，人类吞食了智慧果实从而被逐出伊甸园，这是人类所背负的原罪。而Seele的目的正是“赎罪”，引领人类回归原始。这是向神的低头，与源渡“成为神，引导人类前进的方向”的指导思想简直是有天壤之别；
5. 个人认为碇唯很难称得上有什么计划，她确实是想方设法让真嗣活下来，但这似乎更多地是出于一种母性的本能；
6. 亚当的肉体并不是被销毁了，而是在第二次冲击后还原到了胚胎的状态。后经由加持送到NERV总部，源渡也并不是吞下它，而是把它移植到了自己的右手上；
7. 初号机不是亚当的复制体，而是莉莉丝的复制体，这也决定了初号机与其他机体本质上的不同，同样也是NERV如此重视初号机的原因（TV版中美里对此曾抱有疑问）。
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11.3更新【大部分来自于EVA-FANS注释文档】
关于人类补完计划我觉得有必要再说一下，也能顺便了解到EVA的含义：
EVA和希伯来圣经和基督教圣经有着绝对的借鉴关系。
碇真嗣日语原名是碇シンジ，绫波丽日语原名是綾波レイ，碇元渡的原名是碇ゲンドウ，这其中隐藏着如下的含义：シンジ发音Shinji，同日语中“神儿”， レイ发音Rei，同日语中的“灵”，而ゲンドウGendou，同日语中的“言動”——言動即“言叶”（语言），也就是“道”（Word）。在新约圣经·约翰福音（John）第1章第一节中有这样的文字：“In the beginning was the Word,and the Word was with God,and the Word was God.”，中文翻译为“太初有道，道与神同在，道就是神”。很明显，碇真嗣代表“圣子”，绫波丽代表“圣灵”，而碇元渡就是代表“圣父”了。三人的组合代表着圣父、圣子和圣灵“三位一体”的重要教义。
但是在动画和希伯来圣经里，莉莉丝代表着恶魔，人类（Lilin）是恶魔之子。同时，智慧之国也代表着人类的“原罪”，也正是Seele想为人类洗脱的东西。
Seele的“人类补完计划”就是让人类的灭亡和统一洗脱原罪，达到某种程度的永恒，在LCL溶液里。
但是碇元渡不同，NERV的标志是个无花果叶——《圣经》中亚当和夏娃智慧觉醒后用来遮挡自己的东西，也是原罪的象征，恰好是元渡对于自我目的的解释使然：人类并不需要什么原罪，这无花果叶代表的是人类逆天的胜利象征。至于只有一半的叶子，则是以为人类已经入手了智慧之果，但还差另一半的生命之果才可以到达生命之树，成为神。
因此，碇元渡的目的是成为神，即让人类同时获得生命之果与智慧之果。当然私下里还有见到碇唯，与她永恒。（BTW，他的副手冬月幸增也对碇唯抱有“超越师生、止于爱情”的感情，所以。。。）
因此，把初号机和莉莉丝不完整的肉体钉在十字架上，正是神子耶稣当年被处死的方法，而碇真嗣的名字也意为“神子”，代表洗罪。
在我之前的答案中，还有一个重点没有提及，那就是朗基努斯枪。在圣经中，它是杀死神子基督耶稣的那把枪；在动画中，它是生命之树的枝干，唯一一个能穿越A.T.FIELD封印使徒（EVA）的枪，因此，朗基努斯枪对于Seele的重要性不言而喻，在处刑仪式中，是非常重要的一环。碇元渡以击破鸟天使为借口把朗基努斯枪扔到太空上，Seele又收回并制造出了复制品。
