阶跃响应，是个说复杂貌似又不复杂，说简单又讲不清的玩意。大家基本都学过信号系统，而这些教材中多多少少都有频率响应相关的内容。
但是教材里将的东西大多数是这个：
然后再看到这个：
书本一合，好了，已经神功大成了！让我们来看看实际设计的反馈系统的阶跃响应吧！
然后就看见了这个：
这种：
甚至还有这种：
即便设计的环路增益大于60度，以上情形仍有可能出现。在本文中，我们将揭示频域与时域的关联，分析以上各种情形的来源，并为后续的其他文章铺垫。
缺少合理的设计，即便看似带宽很大，也可能速度很慢。
本文将主要介绍以下内容:
更详细的内容或许可以再自动控制理论里面找到，但是我是没看过自控原理，仅在此处针对电路中常见的情况进行分析。
注意：本文中所说的所有传递函数都是指闭环传递函数！
产生这一困难的原因，主要在于多极点系统的冲击响应不符合各自极点的冲击响应的叠加，我们研究以下两个模型。
这是一个电路中的常见情形，级联系统的冲击响应等于两个分立系统冲击响应的卷积，而卷积过程是一个非常难以可视化的过程。
但是级联系统的系统传递函数等于两者的连乘，这导致整体系统的零极点位置等于各自零极点的叠加，非常有利于频域设计。
注意到并联系统的冲击响应是非常直观的，符合线性性质。但是此时整体系统的传递函数却不尽人意，简单而言一旦我们需要对分母进行通分，那么产生新的零点完全不足为奇怪。
在此处我们首先不考虑零点对时域响应的影响，仅考虑一个纯极点系统。
我们注意到有重要公式：
所以即便是级联系统这种难以可视化的东西，如果其中一个系统的冲击响应是δ函数，那么就相当于是其中一个系统的响应。
而δ的频谱是白频谱，这显然是比较难以实现的。不过如果其中一个系统的带宽远大于另一个系统，则大带宽系统的行为会类似于冲击响应，这也就是主极点近似的来源。
主（实/复）极点近似[1]——所有高阶极点对应的系统带宽远大于主极点系统带宽，使得除了主极点的冲击响应其他极点的冲击响应都可近似为脉冲函数。
但是，问题的关键在于，我们最后落到实处的是闭环系统的阶跃响应。也就是说我们需要的闭环系统的零极点位置。以一个单位增益负反馈的放大器为例，此时的闭环主极点位于GBW[2]，要实现主极点近似的响应，次极点的位置需要大于10倍的GBW而这是几乎不可能实现的事情。
而对于一个多极点系统，没有简单的方法可以预测时域的阶跃响应！
对于一对复极点，我们可以用实部虚部的方式来表示他，也可以用极坐标表示，而特殊的，此时的极坐标具有特殊的物理意义：角度代表了品质因子，而半径则表现了特征频率。
此处我们再分析另外一个特性，就是直角坐标系下的实部还表示了本征解衰减的速度，所以我们有如下的混合坐标系：
因而如果一个系统可以用主复极点近似，我们就可以根据最终所需要的时域响应特性划定极点可以出现的范围。
这几个条件缺一不可，即便复极点位于极高的频率，但是若复极点有较大的品质因子和缓慢的衰减，任然会使得上文所讨论的主极点近似不再可用。
例如我们要求一个系统响应速度需要大于某个值，过冲需要小于某个值，出现的震荡需要多快得以衰减，我们就可以画出如下可行域：
同时我们也可以非常轻易的准确画出任意极点对的频率响应：
可以先画出默认极点位于本征频率处的基础波特图，然后再将极点向虚轴做垂线的位置依据品质因子大小补上频响上的凸起，进而可以获得非常准确的频率响应图像。
至于复极点系统的时域响应，普通的信号系统教材中都有详细讨论此处不在过多赘述。
零点来源于系统的并联，根据第一部分的内容，我们当然可以分别拆出两部分系统，然后将各自的冲击响应算出，再用叠加定理来求出最终系统的响应。
不过这种方法比较复杂，且并不直观，不适合直接应用在电路分析当中。在此我们假设仅含有一个低频零点，然后比较包含与不包含该零点的系统响应的区别。
注意到，这个零点抵消了阶跃响应计算中所需要的积分操作，导致拉斯逆变换产生了一个冲击响应项，此项的大小被零点的位置缩放。低频零点会产生显著的影响。
注意到，零点的存在是可能加速系统的响应的，不完全是坏事。这其实也是示波器表笔补偿的基本原理，但是让我们先把更为复杂的案例抛开以供日后其他文章讨论。
但是右半平面零点带来反相过冲将几乎不可避免的拖慢系统响应。
当我们观察到阶跃响应的起始为止出现突变，我们就可以判定出现了零点，其突变大小反应了零点所在的频率。
至此我们把对零点的讨论点到为止。
很多时候我们只注意了幅频响应带来的影响，但是却容易忽略相频响应导致的群延迟不一致进而导致的相位失真。这个案例仅仅是让大家有个概念，本文不对相位失真进行严谨的讨论。
有如下常见全通滤波器：
不难写出其传递函数：
系统具有一个对称零极点。读者可能奇怪在低频的时候输出是0.5Vin，在高频的时候输出是0.5Vin，中间难道不会经过0输出吗？
回答这个问题的关键就在与相位，描述一个正弦波的输出不光需要有幅度，还需要有相位。在从低频到高频的过程中，这个全通滤波器给信号频段施加了一个180度相移。
现在让我们看看这个全通滤波器的阶跃响应：
对全通滤波器不再做更多讨论，细节的讨论涉及过多滤波器设计的内容。
对于这项议题的讨论主要来源于一般二阶系统阶跃响应的图：
然后我们就会很轻易的得出一个结论，要使得系统达到最快阶跃响应，我们需要品质因子0.707，或者说最平频率响应。但是这真是一个合理的结论吗？
要知道当阻尼系数大于1或者品质因子小于0.5时，我们已经在面对一个具有两个实极点的系统，系统的特征频率已经在改变，这一张图中的比较是缺乏变量控制的，或者说，没有控制住我们所关心的变量。
我们来看一下两者的阶跃响应：
肉眼可见的一阶系统的阶跃远快于具有相同特征频率的二阶系统
这个也非常好理解，毕竟一阶系统对高频的衰减远小于高阶系统，而高频信息反应的正是阶跃响应开始的部分。
有人可能要说，这不是糊弄鬼吗，两个系统阶数都不一样这比什么啊？
所以接下来我们假设在主极点的两倍频处有一个次极点（注意到在单位增益负反馈系统中，主极点位于GBW，而次极点位置大于GBW是一个常见的操作[4]）
现在我们看如下波特图：
让我们再来看一眼阶跃响应：
注意到仍然是实极点系统的响应速度大于复极点系统。
现在我们已经具有了理论基础，未来的文章就将讨论如何实现这个操作。
在常规情形下，我们的反馈放大器会具有一对主复极点（由环路增益中的主/次极点移动而来），同时还会有一个最临近零点/极点。然后我们可以忽略掉后续更高频的零极点（将在根轨迹中进行讨论）。
对于这个问题我有的放矢的找了一下相关教材，果然对此有一定的讨论，在此直接引用部分结论：
我们不难计算出复极点的实部，将他与额外极点的频率做比较，当额外极点的频率比复极点实部超出十倍，则主复极点近似可以使用。注意：反之不亦然，主实极点近似不能参考这条建议。
细节的讨论关键在于复极点导致的时域振幅，频率和主极点产生阶跃响应的上升斜率，是否期中一个能超过另外一个。不佳的设计可能会导致边上升边抖动的情形。
本文非常详细的讨论了频域与时域的关联，补充了传统基础信号系统教材中二阶系统之外的内容。更多的讨论将降低本文的通俗性和直觉。细节的推导应该可以参考大部分自动控制原理教材。
要非常注意的一点是，本文探讨的是闭环系统的频率响应，文中所指的所有零极点均为闭环系统的零极点，与开环系统的零极点不是一个概念！
所以接下来的一篇文章我们就需要研究，这些开环零极点都是怎么移动到闭环系统中零极点的位置的，也就是根轨迹法。要注意，我们不光要关心极点的位置（稳定性问题），也要关注零点对时域的影响，这是导致我选择根轨迹的一大原因。
在确定了闭环零极点的位置获得了预期的阶跃响应之后，再回头考虑开环应该如何优化和设计。好的闭环响应离不开清晰的开环分析。
