1697年的某一天，闲来无事的约翰·伯努利 (Johann Bernoulli) 公布了两条恒等式，并为之命名为二年级之梦 (sophomore's dream)：
对于第一个公式，伯努利认为：我们在一年级就学过对数转换和与指数函数的泰勒展开，也就是说：
将上述变换代入，再利用一年级学过的幂级数的一致收敛性以及积分与级数换序，可得：
换元，设 ，则有：
再换元，设 ， 则有：
根据一年级学过的 函数定义：
代入可得：
对于第二个公式，被积函数改为 ，证明方法同上，Proof is trivial：
为什么伯努利称之为二年级之梦，而非一年级之梦呢，是伯努利认为一年级学生不努力，以至于水平不够，不配梦到吗？
我去查约翰·伯努利的儿子尼古拉二世·伯努利(Nicolaus II Bernoulli, 1695.26—1726.7.31) 时发现，1697年父亲提出这两条恒等式时，儿子正好2岁，懂了，这或许是2岁的小伯努利睡醒之后努力写出的恒等式（误）
那有没有所谓的一年级之梦 (Freshman's dream) ？有的，或者也可称之为新手之梦，一年级之梦 其名的由来可以追溯到1940年一篇有关模曲线的文章 Review of Selected papers on algebra[1]，感兴趣的可以去阅读一下，现在一般将一年级之梦指代以下的公式： ，学龄前的大家都知道这是错误的
一年级之梦，看似正确，实则错误，如果你认为是对的，可能确实还是freshman
二年级之梦，看似错误，实则正确，如果你证明是对的，可能确实已经达到小学二年级的毕业要求，建议毕导授予二年级学位毕业证书
虽然如此，但是，一年级之梦在热带几何 (Tropical Geometry) 的框架下，形式上是成立的
虽然不熟悉热带几何整个方向，不过之前也是了解过一些相关的基础运算法则，热带几何用加法替代乘法，用极值替代加法，即：
这种情况下，一年级之梦形式上成立，即：
想深入了解的可以参考这个科普+严肃视频[2]
1880年，克罗内克 (Kronecker) 给戴德金 (Dedekind) 写的一封信中有一段话：
翻译成中文为（借助翻译软件）：
这是克罗内克青春之梦(Kronecker dream of youth) 的来源，希尔伯特第12问题也与之相关[3]
数学家拉马努金一生中提出了海量巧妙的恒等式和不等式，他习惯以直觉导出公式，不喜欢不擅长证明，而后大部分公式都被证讫为实。他的留存笔记中的尚未被证明的公式，启发了多位菲尔兹奖获得者的工作。如拉马努金所言，他的家族女神Namagirl会在梦中给予他启示，复杂的数学公式会以清晰的图像形式出现在他眼前
