其他回答已经给了很多好的入门书了. 但除了一般的分析入门书之外, 我还会推荐 Spivak 的 流形上的微积分 (Calculus on Manifolds) 作为补充``几何启示".
个人认为在一元微积分, 学会严谨地定义 是非常重要的. 在这里面, 其中有些教材 (比如 Spivak的微积分 (Calculus) ) 会把 exp 定义为 log 的反函数, 而 的定义一般 (比如说 Spivak和卓里奇) 是靠半圆上的曲线积分求弧长做出来的. 在证明 的性质, 找出定义弧长的被积函数, 这些时候你都会看见隐函数定理的影子. 子流形这些概念的引入可以帮助记忆和理解隐函数理论. 另外, 曲线曲面的积分其实无非是 子流形上的积分, 可以看成是一个微分 1-形式. 当你回头再看回1维的情形时, Newton-Leibniz 公式最后不过是Stokes' 公式的特殊情形...
另外, Spivak这部书浓缩了大量精华. 在习题中你可以学习 Cauchy-Riemann 条件和 (当然, 假设 C^1 条件下) 利用 Stokes' (实际上是Gauss-Green) 公式证明柯西积分公式. 后面有习题是讲闭曲线的 linking number. 这个现象其实在今后学习 Poincare 对偶和计算上同调的时候会再次出现, 到时候你会发现, Poincare 对偶不仅只是积分操作诱导出, 计算推出的一个对偶关系, 而是还有微分形式的外积和子流形的相交之间的对应. 此外, 在自己亲手处理过低维情形之后, 之后推导Hopf index theorem那些self-intersection相关的冗长的计算也会有迹可循.
